极限

定义

数列极限

如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有： $$|x_n - a| < \varepsilon$$ 则称常数 $a$ 为数列 ${x_n}$ 的极限，记作： $$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$

函数极限

• x→∞ 时：$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$
• x→x₀ 时：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

极限运算法则

若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

运算	公式
和差	$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
积	$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
商	$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ (B≠0)

🔥 重要极限

1. 第一个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

2. 第二个重要极限

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

3. 洛必达法则

若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，则： $$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

注意

洛必达需要分子分母可导，且求导后极限必须存在！

📝 常见题型

求极限方法总结

1. 直接代入：多项式、商
2. 因式分解：$\frac{0}{0}$ 型
3. 分子/分母有理化：根号差
4. 重要极限：三角函数、幂指函数
5. 洛必达：$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$
6. 等价无穷小：$x \to 0$ 时

等价无穷小替换（x→0）

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

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💕 宝贝，极限是高等数学的基础，一定要理解透彻哦！有问题随时问老师～